[FJOI WC 2017] geronimo

最小公倍数。

这题应该算是经典模型了。

如果模拟一下变换过程,可以发现:

  1. 所有的数的行进路线都会是一个闭合的环。
  2. 同一个环上的数总是同时恢复到原始状态。
  3. 一个数恢复到原始状态所需次数为这个数所在环的长度。
  4. 不同的环之间相互独立。

那么显然(参见小学奥数),要使所有数恢复到原始状态,所需次数即为所有数最小移动次数的最小公倍数,即为所有环长度的最小公倍数

注意:这题如果直接用 lcm(a, b) = a * b / gcd(a, b) 会超出 long long 范围,所以计算过程应采用分解质因数求乘法逆元

代码如下(分解质因数):

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矩阵填数

题意:

给出一些有限制的矩阵,求出满足要求的方案数。

可以发现,如果将每个矩形的四条边延长,可以将大矩形划分成不多于400个的小矩形。

对于每个有限制的矩形,只有两种情况:达到要求和未达到要求。最多有2^10种状态。

由于状态少,可以用状压DP来解决。

设f[tot][k]为第i个小矩形达到状态k的方案数,state[i][j]为小矩形tot满足要求每个有限制的矩形的状态

就有

  1. f[tot + 1][k|sta[i][j]] += (long long)f[tot][k] * (power(V[i][j], num[i][j]) -power(V[i][j] - 1, num[i][j]))
  2. f[tot + 1][k] += (long long)f[tot][k] * (power(V[i][j] - 1, num[i][j])

最后f[tot][(1<<n) - 1](tot是小矩形数,(1<<n) - 1是状态数)为答案

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病毒入侵

矩阵乘法优化的动态规划。

考虑位数增长时答案的变化:

用数组 F[i][j] 记录长度为 i 且末尾三位的十进制表示为 j 的未感染 DNA 个数,那么每一个 j 可以向后转移到的状态如下:


j   DNA     possible subfix
0   000  +  0/1
1   001  +  0/1
2   010  +  0
3   011  +  0
4   100  +  0/1
5   101  +  nothing
6   110  +  0
7   111  +  nothing

上表还不太明显,用图表示:

那么转移就很明显了:


f[i+1][0] = f[i][0] + f[i][4]
f[i+1][1] = f[i][0] + f[4][0]
f[i+1][2] = f[i][1]
f[i+1][3] = f[i][1]
f[i+1][4] = f[i][2] + f[i][6]
f[i+1][6] = f[i][3]

但是,考虑到数据范围 ( L<=10^9 ),直接线性递推做会超时。

于是用矩阵乘法优化转移过程,具体实现见代码:

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[Luogu U2862] 小A的数列

对于 Fibonacci 数列 {Fi} 存在这样一个定理:

\gcd(F_{m},F_{n})=F_{{\gcd(m,n)}}

那么题意可以转化为求 Fibonacci 数列的第 gcd(n, m) 项对 1000000007 取模的值。

注意这个数可能会达到 10^18,故使用矩阵乘法优化计算。

Reference:

斐波那契数列 - 维基百科,自由的百科全书

代码如下:


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#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>

using namespace std;

inline void set_file_IO(string);
inline void close_IO(void);
inline void work(void);

int main(void) {
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        set_file_IO("sequence");
    #endif
    ios::sync_with_stdio(false);
    work();
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        close_IO();
    #endif
    return 0;
}

typedef long long ll;

const ll Mod = 1000000007;

template<int Size>

struct matrix {
    ll data[Size][Size];
   
    matrix() {
        memset(data, 0, sizeof data);
    }
   
    matrix<Size> operator *(const matrix<Size> b) {
        matrix<Size> res;
        for (int i=0; i<Size; ++i) {
            for (int j=0; j<Size; ++j) {
                for (int k=0; k<Size; ++k) {
                    (res.data[i][j] += data[i][k] * b.data[k][j]) %= Mod;
                }
            }
        }
        return res;
    }
   
    void operator *= (const matrix<Size> b) {
        *this = *this * b;
    }
   
    matrix<Size> operator ^(ll exp) {
        matrix<Size> res;
        for (int i=0; i<Size; ++i) {
            res.data[i][i] = 1;
        }
        for (matrix<Size> base=*this; exp; base*=base, exp>>=1LL) {
            if (exp & 1LL) {
                res *= base;
            }
        }
        return res;
    }
   
    matrix operator ^=(const ll exp) {
        return *this = *this ^ exp;
    }
};

inline void single(void) {
    ll n, m;
    cin >> n >> m;
    while (m) {
        const ll t = m;
        m = n % m;
        n = t;
    }
   
    matrix<2> ans, ast;
    ans.data[0][1] = 1;
    ast.data[0][0] = ast.data[0][1] = ast.data[1][0] = 1;
    ans *= ast ^= n;
    cout << ans.data[0][0] << endl;
}

/*
                 1          ,  1

                 1          ,  0

f[i], f[i-1]     f[i]+f[i-1],  f[i]

0   , 0          0          ,  0
*/


inline void work(void) {
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        single();
    }
}

inline void set_file_IO(string name) {
    freopen((name + ".in" ).c_str(), "r", stdin );
    freopen((name + ".out").c_str(), "w", stdout);
}

inline void close_IO(void) {
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
}

 

[BZOJ 1901] Dynamic Rankings

树状数组套主席树。

考虑无修改求区间第 K 大的情况:因为主席树之间支持相加减,故可以维护一些包含 1~i 的线段树,计算它们的树前缀和,从而快速得到区间 [l, r] 中的第 K 大数。

考虑对于数的静态区间和与动态区间和的关系——前缀和与树状数组。

类似地,我们可以维护一个树状数组,但线段树记录的不再是前缀和,而是树状数组的辅助数组的值。

这样就能做到带修改的区间第 K 大值查询了。

Reference:

http://blog.csdn.net/u014664226/article/details/47839973

代码如下:

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BZOJ2588 Spoj 10628. Count on a tree

BZOJ2588

求树上路径上节点权值k小。

可以发现树上两点u,v之间的第k小点权等价于(root <-> u) + (root <-> v) - (root <-> lca(u, v)) - (root <-> father[lca(u, v)])上的第k小点权,其中root为根节点,lca(u, v)为u和v的最近公共祖先,father[lca(u, v)]为lca(u, v)的父节点。

那么可以维护root到所有节点的权值,显然root到某个点x的权值和root到x父节点的权值只有点x这个点权的差别,那么可以用主席树维护这个东西了。

继续阅读BZOJ2588 Spoj 10628. Count on a tree