[Luogu U2862] 小A的数列

对于 Fibonacci 数列 {Fi} 存在这样一个定理:

\gcd(F_{m},F_{n})=F_{{\gcd(m,n)}}

那么题意可以转化为求 Fibonacci 数列的第 gcd(n, m) 项对 1000000007 取模的值。

注意这个数可能会达到 10^18,故使用矩阵乘法优化计算。

Reference:

斐波那契数列 - 维基百科,自由的百科全书

代码如下:


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#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>

using namespace std;

inline void set_file_IO(string);
inline void close_IO(void);
inline void work(void);

int main(void) {
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        set_file_IO("sequence");
    #endif
    ios::sync_with_stdio(false);
    work();
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        close_IO();
    #endif
    return 0;
}

typedef long long ll;

const ll Mod = 1000000007;

template<int Size>

struct matrix {
    ll data[Size][Size];
   
    matrix() {
        memset(data, 0, sizeof data);
    }
   
    matrix<Size> operator *(const matrix<Size> b) {
        matrix<Size> res;
        for (int i=0; i<Size; ++i) {
            for (int j=0; j<Size; ++j) {
                for (int k=0; k<Size; ++k) {
                    (res.data[i][j] += data[i][k] * b.data[k][j]) %= Mod;
                }
            }
        }
        return res;
    }
   
    void operator *= (const matrix<Size> b) {
        *this = *this * b;
    }
   
    matrix<Size> operator ^(ll exp) {
        matrix<Size> res;
        for (int i=0; i<Size; ++i) {
            res.data[i][i] = 1;
        }
        for (matrix<Size> base=*this; exp; base*=base, exp>>=1LL) {
            if (exp & 1LL) {
                res *= base;
            }
        }
        return res;
    }
   
    matrix operator ^=(const ll exp) {
        return *this = *this ^ exp;
    }
};

inline void single(void) {
    ll n, m;
    cin >> n >> m;
    while (m) {
        const ll t = m;
        m = n % m;
        n = t;
    }
   
    matrix<2> ans, ast;
    ans.data[0][1] = 1;
    ast.data[0][0] = ast.data[0][1] = ast.data[1][0] = 1;
    ans *= ast ^= n;
    cout << ans.data[0][0] << endl;
}

/*
                 1          ,  1

                 1          ,  0

f[i], f[i-1]     f[i]+f[i-1],  f[i]

0   , 0          0          ,  0
*/


inline void work(void) {
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        single();
    }
}

inline void set_file_IO(string name) {
    freopen((name + ".in" ).c_str(), "r", stdin );
    freopen((name + ".out").c_str(), "w", stdout);
}

inline void close_IO(void) {
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
}

 

[BZOJ 2326] [HNOI 2011] 数学作业

矩阵乘法优化的线性递推。

令 f[i] 为 Concatenate(1 .. N) Mod M 的值。则显然地,有这么一个关于 f[i] 的线性递推式:

f[i] = f[i-1] * (10 ^ log10(i)) + i

但是直接用这个式子做的话复杂度是 O(n) 的,会超时。考虑利用矩阵乘法来计算。

把刚才的式子稍加变换,得:

f[i+1] = f[i] * (10 ^ log10(i+1)) + i+1

可以发现,对于位数相同的一段,10 ^ log10(i+1) 的值是固定的。可以考虑分段矩乘。

可以构造出这么两个矩阵:


   Matrix 1            Matrix 2

[ f[i], i,  1 ]     [ k ,  0,   0]     [ f[i]*k+i+1, i+1, 1]
[ 0   , 0,  0 ]  *  [ 1 ,  1,   0]  =  [ 0         , 0  , 0]
[ 0   , 0,  0 ]     [ 1 ,  1,   1]     [ 0         , 0  , 0]

那么对于位数相同的一段,Matrix 2 都是不变的,可以快速幂做掉。

还有一些边界情况需要多加考虑。注意在题目运算过程中间量可能会超出 long long 范围,所以需要使用类似快速幂的慢速乘以及 unsigned long long。

代码如下:

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