[FJWC2016] 树上三角形

树上三角形

不妨设三条线段的长度分别a, b, c,且满足abc,由几何知识可知,若a + b > c这三条线段即可构成一个三角形。那么若要使得若干线段无法构成三角形,令a + b = c即可使线段总数最大。由于点权范围满足,那么当线段长度分别为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13······时,线段总数最大。显然这个数列为斐波那契数列。由计算可知,斐波那契数列的第47项>,那么当u和v的简单路径上有大于46个点权时,必定存在以其中三个权值为边长构成的三角形。

预处理出每个节点的子节点来计算深度。

对于修改操作,直接修改即可。

对于查询操作,暴力枚举u,v的路径,若总数大于46即可输出Y,否则排序后判断。注意两边权相加后可能会溢出int/longint。

时间复杂度为


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#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>


const int LIM = 46, N = 100000 + 10;


int w[N], f[N], s[N], nxt[N], beg[N], dep[N], tmp[N];
int te;


void dfs(int );
int read(void);


int main(void)
{
    int n = read(), q = read();
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        w[i] = read();
    for (int i = 1; i < n; ++i)
    {
        int a = read(), b = read();
        f[b] = a;
        s[++te] = b;
        nxt[te] = beg[a];
        beg[a] = te;
    }
    dfs(1);
    while (q--)
    {
        int t = read(), a = read(), b = read();
        if (t)
            w[a] = b;
        else
        {
            tmp[0] = 0;
            while (tmp[0] <= LIM && a != b)
            {
                ++tmp[0];
                if (dep[a] > dep[b])
                {
                    tmp[tmp[0]] = w[a];
                    a = f[a];
                }
                else
                {
                    tmp[tmp[0]] = w[b];
                    b = f[b];
                }
            }
            tmp[++tmp[0]] = w[a];
            if (tmp[0] > LIM)
                puts("Y");
            else
            {
                std::sort(tmp + 1, tmp + tmp[0] + 1);
                bool exi = 0;
                for (int i = 3; i <= tmp[0] && !exi; ++i)
                    if (tmp[i - 2] + tmp[i - 1] > tmp[i])
                        exi = 1;
                puts(exi ? "Y" : "N");
            }
        }
    }
   
    return 0;
}


void dfs(int x)
{
    dep[x] = dep[f[x]] + 1;
    for (int i = beg[x]; i; i = nxt[i])
        dfs(s[i]);
}


inline int read(void)
{
    char x;
    while (!isdigit(x = getchar()))
        ;
    int num = x - '0';
    while (isdigit(x = getchar()))
        (num *= 10) += x - '0';
    return num;
}

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