[BZOJ 2326] [HNOI 2011] 数学作业

矩阵乘法优化的线性递推。

令 f[i] 为 Concatenate(1 .. N) Mod M 的值。则显然地,有这么一个关于 f[i] 的线性递推式:

f[i] = f[i-1] * (10 ^ log10(i)) + i

但是直接用这个式子做的话复杂度是 O(n) 的,会超时。考虑利用矩阵乘法来计算。

把刚才的式子稍加变换,得:

f[i+1] = f[i] * (10 ^ log10(i+1)) + i+1

可以发现,对于位数相同的一段,10 ^ log10(i+1) 的值是固定的。可以考虑分段矩乘。

可以构造出这么两个矩阵:


   Matrix 1            Matrix 2

[ f[i], i,  1 ]     [ k ,  0,   0]     [ f[i]*k+i+1, i+1, 1]
[ 0   , 0,  0 ]  *  [ 1 ,  1,   0]  =  [ 0         , 0  , 0]
[ 0   , 0,  0 ]     [ 1 ,  1,   1]     [ 0         , 0  , 0]

那么对于位数相同的一段,Matrix 2 都是不变的,可以快速幂做掉。

还有一些边界情况需要多加考虑。注意在题目运算过程中间量可能会超出 long long 范围,所以需要使用类似快速幂的慢速乘以及 unsigned long long。

代码如下:


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#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>

using namespace std;

inline void set_file_IO(string);
inline void close_IO(void);
inline void work(void);

int main(void) {
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        set_file_IO("homework");
    #endif
    //ios::sync_with_stdio(false);
    work();
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        close_IO();
    #endif
    return 0;
}

typedef unsigned long long ll;

const int Size = 3;
ll Mod;

inline ll mul(ll a, ll b) {
    ll res = 0;
    for (ll base=a; b; b>>=1LL, (base<<=1LL)%=Mod) {
        if (b & 1LL) {
            (res += base) %= Mod;
        }
    }
    return res;
}

struct matrix {
    ll data[Size][Size];
   
    matrix() {
        memset(data, 0, sizeof data);
    }
   
    matrix operator *(const matrix b) {
        matrix res;
        for (int i=0; i<Size; ++i) {
            for (int j=0; j<Size; ++j) {
                for (int k=0; k<Size; ++k) {
                    (res.data[i][j] += mul(data[i][k], b.data[k][j])) %= Mod;
                }
            }
        }
        return res;
    }
   
    void operator *= (const matrix b) {
        *this = *this * b;
    }
   
    matrix operator ^(ll exp) {
        matrix res;
        for (int i=0; i<Size; ++i) {
            res.data[i][i] = 1;
        }
        for (matrix base=*this; exp; base*=base, exp>>=1LL) {
            if (exp & 1LL) {
                res *= base;
            }
        }
        return res;
    }
   
    matrix operator ^=(const ll exp) {
        return *this = *this ^ exp;
    }
};

inline void work(void) {
    ll n;
    cin >> n >> Mod;
    const ll digit = log10(n);
    matrix ans;
    ans.data[0][0] = ans.data[0][1] = 0;
    ans.data[0][2] = 1;
    for (ll i=0, k=10; i<=digit; ++i, k*=10) {
        matrix ass;
        ass.data[1][0] = ass.data[1][1] = ass.data[2][0] = ass.data[2][1] = ass.data[2][2] = 1;
        ass.data[0][0] = k;
        const ll exp = (i==digit? n: k-1) - k/10 + 1;
        ass ^= exp;
        ans *= ass;
    }
    cout << ans.data[0][0] << endl;
}

inline void set_file_IO(string name) {
    freopen((name + ".in" ).c_str(), "r", stdin );
    freopen((name + ".out").c_str(), "w", stdout);
}

inline void close_IO(void) {
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
}

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