矩阵乘法优化的线性递推。
令 f[i] 为 Concatenate(1 .. N) Mod M 的值。则显然地，有这么一个关于 f[i] 的线性递推式：
f[i] = f[i-1] * (10 ^ log10(i)) + i
但是直接用这个式子做的话复杂度是 O(n) 的，会超时。考虑利用矩阵乘法来计算。
把刚才的式子稍加变换，得：
f[i+1] = f[i] * (10 ^ log10(i+1)) + i+1
可以发现，对于位数相同的一段，10 ^ log10(i+1) 的值是固定的。可以考虑分段矩乘。
可以构造出这么两个矩阵：
Matrix 1 Matrix 2
[ f[i], i, 1 ] [ k , 0, 0] [ f[i]*k+i+1, i+1, 1]
[ 0 , 0, 0 ] * [ 1 , 1, 0] = [ 0 , 0 , 0]
[ 0 , 0, 0 ] [ 1 , 1, 1] [ 0 , 0 , 0]
那么对于位数相同的一段，Matrix 2 都是不变的，可以快速幂做掉。
还有一些边界情况需要多加考虑。注意在题目运算过程中间量可能会超出 long long 范围，所以需要使用类似快速幂的慢速乘以及 unsigned long long。
代码如下：
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#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
inline void set_file_IO(string);
inline void close_IO(void);
inline void work(void);
int main(void) {
#ifndef ONLINE_JUDGE
set_file_IO("homework");
#endif
//ios::sync_with_stdio(false);
work();
#ifndef ONLINE_JUDGE
close_IO();
#endif
return 0;
}
typedef unsigned long long ll;
const int Size = 3;
ll Mod;
inline ll mul(ll a, ll b) {
ll res = 0;
for (ll base=a; b; b>>=1LL, (base<<=1LL)%=Mod) {
if (b & 1LL) {
(res += base) %= Mod;
}
}
return res;
}
struct matrix {
ll data[Size][Size];
matrix() {
memset(data, 0, sizeof data);
}
matrix operator *(const matrix b) {
matrix res;
for (int i=0; i<Size; ++i) {
for (int j=0; j<Size; ++j) {
for (int k=0; k<Size; ++k) {
(res.data[i][j] += mul(data[i][k], b.data[k][j])) %= Mod;
}
}
}
return res;
}
void operator *= (const matrix b) {
*this = *this * b;
}
matrix operator ^(ll exp) {
matrix res;
for (int i=0; i<Size; ++i) {
res.data[i][i] = 1;
}
for (matrix base=*this; exp; base*=base, exp>>=1LL) {
if (exp & 1LL) {
res *= base;
}
}
return res;
}
matrix operator ^=(const ll exp) {
return *this = *this ^ exp;
}
};
inline void work(void) {
ll n;
cin >> n >> Mod;
const ll digit = log10(n);
matrix ans;
ans.data[0][0] = ans.data[0][1] = 0;
ans.data[0][2] = 1;
for (ll i=0, k=10; i<=digit; ++i, k*=10) {
matrix ass;
ass.data[1][0] = ass.data[1][1] = ass.data[2][0] = ass.data[2][1] = ass.data[2][2] = 1;
ass.data[0][0] = k;
const ll exp = (i==digit? n: k-1) - k/10 + 1;
ass ^= exp;
ans *= ass;
}
cout << ans.data[0][0] << endl;
}
inline void set_file_IO(string name) {
freopen((name + ".in" ).c_str(), "r", stdin );
freopen((name + ".out").c_str(), "w", stdout);
}
inline void close_IO(void) {
fclose(stdin);
fclose(stdout);
}